Question

19．已知不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集為[a，b]，則a+b的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，討論f（x）的對(duì)稱軸x=2是否在區(qū)間[a，b]內(nèi)，從而求出a、b的值．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4，則f（x）的對(duì)稱軸為x=2，
若a≥2，則a，b是方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)根，解得a=$\frac{4}{3}$，b=4，與a≥2矛盾，舍去；
若b≤2，則f（a）=b，f（b）=a，相減得a+b=$\frac{8}{3}$，代入可得a=b=$\frac{8}{3}$，與已知矛盾，舍去；
若a＜2＜b，則f（x）的頂點(diǎn)在[a，b]內(nèi)，f（x）_min=1，所以a≤1（否則在頂點(diǎn)處不滿足a≤f（x）），
所以此時(shí)a≤f（x）的解集是R；
所以f（x）≤b的解集是[a，b]，
所以f（a）=f（b）=b；
由$\left\{\begin{array}{l}{f（b）=b}\\{b＞2}\end{array}\right.$，解得b=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=4}\\{a＜2}\end{array}\right.$，解得a=0，
所以a+b=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，是難題．