Question

對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-3        
②f（x）=

x

，g（x）=x+2
③f（x）=e^-x，g（x）=-

1

x

          
④f（x）=lnx，g（x）=x-

1

2

其中在區(qū)間（0，+∞）上存在“友好點(diǎn)”的有（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，分別進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①f（x）-g（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，∴要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，不可能，不滿足條件，
∴在區(qū)間（0，+∞）上的不存在唯一“友好點(diǎn)”，∴①不正確．
②g（x）-f（x）=x-

x

+2=（

x

-

1

2

）²+

7

4

≥

7

4

＞1，∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，∴函數(shù)不存在“友好點(diǎn)”，∴②錯(cuò)誤．
③設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+

1

x

，則函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)減，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，
∴③滿足條件，∴③正確．
④h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-

1

2

，（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
∴當(dāng)x₀=1時(shí)，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④滿足條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)新定義的理解與運(yùn)用，考查函數(shù)最值的判斷，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力．