Question

10．2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》．其中規(guī)定：居民區(qū)的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別	PM2.5濃度（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，25]	5	0.25
第二組	（25，50]	10	0.5
第三組	（50，75]	3	0.15
第四組	（75，100）	2	0.1

（Ⅰ）從樣本中PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的5天中，隨機(jī)抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率；
（Ⅱ）求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的三天記為A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的兩天記為B₁，B₂．利用列舉法能求出恰好有一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度超過75微克/立方米的概率．
（Ⅱ）求出去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度，以是否超過超過35微克/立方米，來判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（50，75]內(nèi)的三天記為A₁，A₂，A₃，
PM2.5的24小時(shí)平均濃度在（75，100）內(nèi)的兩天記為B₁，B₂．
所以5天任取2天的情況有：A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10種．  …（4分）
其中符合條件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6種．  …（6分）
所以所求的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．                 …（8分）
（Ⅱ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：
12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…（10分）
因?yàn)?0＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查樣本平均數(shù)的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意列舉法的合理運(yùn)用．