Question

【題目】已知，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，離心率為，且橢圓的上頂點(diǎn)到左、右頂點(diǎn)的距離之和為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）：.

【解析】

（1）由已知可知和，再根據(jù)，求橢圓方程；

（2）分斜率和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線：，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，，，若滿(mǎn)足條件有，寫(xiě)成坐標(biāo)表示的形式，求.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，由橢圓的上頂點(diǎn)到橢圓的左、右頂點(diǎn)的距離之和為，所以，即，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，.設(shè)，.

若直線斜率為0時(shí)，弦為橢圓長(zhǎng)軸，故以為直徑的圓不可能過(guò)，所以不成立；

若直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線：，代入橢圓方程得：

，易知且，.

故以為直徑的圓過(guò)，則有，

∴

，∴.

綜上可知，：.