Question

2．橢圓ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）與直線y=1-2x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$\frac{a}$的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫縱坐標(biāo)的和，則A，B中點坐標(biāo)可求，由斜率公式列式可得$\frac{a}$的值．

解答 解：設(shè)：點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=1-2x代入橢圓ax²+by²=1得：（a+4b）x²-4bx+b-1=0，
△=（-4b）²-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．
x₁+x₂=$\frac{4b}{a+4b}$，x₁x₂=$\frac{b-1}{a+4b}$．
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2b}{a+4b}$，
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1-2{x}_{1}+1-2{x}_{2}}{2}$=$\frac{2-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=1-（x₁+x₂）=1-$\frac{4b}{a+4b}$=$\frac{a}{a+4b}$．
設(shè)M是線段AB的中點，∴M（$\frac{2b}{a+4b}$，$\frac{a}{a+4b}$）．
∴直線OM的斜率為$\frac{\frac{a}{a+4b}}{\frac{2b}{a+4b}}$=$\frac{a}{2b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．代入①滿足△＞0（a＞0，b＞0）．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，訓(xùn)練了斜率公式的應(yīng)用，是中檔題．