Question

已知函數f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），已知該函數為偶函數．求證：對所有非零實數x，都有f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：先證明x＞0時，f（x）＞0，根據函數是偶函數，圖象關于y軸對稱，可得．

解答： 解：因為函數f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
當x＞0時，因2^x＞1，∴

1

2x-1

＞0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
由于函數為偶函數，圖象關于y軸對稱，故x＜0時，f（x）＞0，
所以對所有非零實數x，都有f（x）＞0．

點評：本題主要考查偶函數的性質，屬于基礎題．