Question

8．已知函數(shù)f（x）=-2x²+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)有最大值1．
（1）若方程|f（x）|=m有4個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求這4個(gè)實(shí)根的和；
（2）當(dāng)x∈[m，n]（0＜m＜n）時(shí)，f（x）取值范圍為[$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{m}$]，試求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{4}$=1，f（1）=-2+b+c=1，從而解出f（x）=-2x²+4x-1；在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=|f（x）|與y=m的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．
（2）因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)，f（x）最大值為1，所以$\frac{1}{m}$≤1，m≥1，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=\frac{1}{m}}\\{f（n）=\frac{1}{n}}\end{array}\right.$，從而可得（x-1）（2x²-2x-1）=0，從而解得m=1，n=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（1）由已知得$\frac{4}$=1，f（1）=-2+b+c=1，
解得b=4，c=-1；
即f（x）=-2x²+4x-1；
在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=|f（x）|與y=m的圖象如下，
由圖象知，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，
兩函數(shù)y=|f（x）|與y=m的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，且分別是關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的兩對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
所以方程|f（x）=m有4個(gè)不同實(shí)根，
這4個(gè)不同實(shí)根的和為4．
（2）因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)，f（x）最大值為1，所以$\frac{1}{m}$≤1，m≥1，
所以當(dāng)x∈[m，n]（0＜m＜n）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=\frac{1}{m}}\\{f（n）=\frac{1}{n}}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根m，n，
且n＞m≥1，
由f（x）=$\frac{1}{x}$得-2x²+4x-1=$\frac{1}{x}$，
2x³-4x²+x+1=0，
（x-1）（2x²-2x-1）=0，
解之得x₁=1，x₂=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，x₃=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
所以m=1，n=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．