Question

已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

(1)求的方程；

(2)是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求.

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）定義法求軌跡方程，已知兩圓的圓心和半徑，所求動(dòng)圓與圓外切，圓心距為半徑和，同時(shí)動(dòng)圓與圓內(nèi)切，圓心距為半徑差，進(jìn)一步得到動(dòng)圓圓心到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值（大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）（除去一點(diǎn)），所以得到其方程；（2）根據(jù)確定當(dāng)圓的圓心為時(shí)，圓的半徑最長(zhǎng)，其方程為：，直線的斜率分情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)求得的長(zhǎng)；當(dāng)斜率存在時(shí)，利用三角形相似，進(jìn)而求得直線的斜率為，有因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015063006060909092173/SYS201506300606148724344045_DA/SYS201506300606148724344045_DA.013.png">與圓相切，進(jìn)一步求得直線的方程，（1）中求得的聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng).

試題解析：由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.設(shè)圓的圓心為，半徑為.(1)因?yàn)閳A與圓外切并且與圓內(nèi)切，所以

.由橢圓的定義可知，曲線是以，為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為． （4分）

(2)對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)圓的圓心為時(shí)，，所以當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為. （8分）

若的傾斜角為，則與軸重合，可得. （9分）

若的傾斜角不為，由知不平行于軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，可求得，所以可設(shè)．由與圓相切得，解得.當(dāng)時(shí)，將代入，并整理得.解得.所以.當(dāng)時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知.綜上，或. （12分）

考點(diǎn)：1.定義法求軌跡方程；2.兩圓外切，內(nèi)切；3.弦長(zhǎng)公式.