Question

16．已知f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)．試判斷它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即$\frac{a}{1}$=0，解得a=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
則f（-x）=-f（x），
即$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$，
則x²-bx+1=x²+bx+1，
即-b=b，得b=0，
則f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x（2x）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法和導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．