Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+1（x＞0），P是函數(shù) y=f（x）圖象上任意一點，過點P與點Q（-1，0）的直線與y軸交于點M，記點M的縱坐標為m，求m的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 設(shè)出P點坐標，由直線方程的兩點式寫出PQ所在直線方程，取x=0求得m，再用函數(shù)單調(diào)性求得m的最小值，并求得點P的坐標．

解答 解：P（x₀，y₀），又Q（-1，0），
∴過點P與點Q（-1，0）的直線方程為$\frac{y-{y}_{0}}{-{y}_{0}}=\frac{x-{x}_{0}}{-1-{x}_{0}}$，
即（y-y₀）（-1-x₀）=-y₀（x-x₀），
取x=0，得m=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}+{y}_{0}}{{x}_{0}+1}=\frac{2{{x}_{0}}^{3}+{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+1}{{x}_{0}+1}$=$2{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}+1$（x₀＞0）．
∴當${x}_{0}=\frac{1}{4}$時，${m}_{min}=2×（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+1=\frac{7}{8}$．
此時P（$\frac{1}{4}，\frac{17}{16}$）．

點評 本題考查利用兩點式求直線方程，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，屬中檔題．