Question

11．已知m∈R，函數(shù)f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在（-∞，+∞）上有極值，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論判別式的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出m的范圍．

解答 解：對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得，
f′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$，
令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$=0，
此一元二次不等式的判別式
△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）=4m²-12m-16，
若△=0，則f′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x₀，且f′（x）的符號(hào)如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
f′（x）	+	0	+

故f（x₀）不是函數(shù)f（x）的極值
當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上有極值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．