Question

10．已知{a_n}為等差數(shù)列，且a₂=-1，a₅=8．求
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項；
（2）求得2ⁿ•a_n=（3n-7）•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=-1，a₅=8，可得a₁+d=-1，a₁+4d=8，
解方程可得a₁=-4，d=3，
則a_n=a₁+（n-1）d=-4+3（n-1）=3n-7；
（2）2ⁿ•a_n=（3n-7）•2ⁿ，
前n項和S_n=-4•2+（-1）•4+2•8+…+（3n-7）•2ⁿ，
2S_n=-4•4+（-1）•8+2•16+…+（3n-7）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-S_n=-8+3（4+8+…+2ⁿ）-（3n-7）•2ⁿ⁺¹
=-8+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-7）•2ⁿ⁺¹
化簡可得S_n=20+（3n-10）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，同時考查等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．