Question

20．規(guī)定：坐標(biāo)軸繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)角，不改變坐標(biāo)軸的原點(diǎn)和長度單位，只將兩坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度θ，這種坐標(biāo)軸的變換叫做坐標(biāo)軸的θ角旋轉(zhuǎn)，簡稱轉(zhuǎn)軸θ，將平面直角坐標(biāo)系O-xy轉(zhuǎn)軸θ得到新坐標(biāo)系O-x′y′，設(shè)點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（x，y）和（x′，y′），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是①②③（把你認(rèn)為錯(cuò)誤的所有結(jié)論的序號(hào)都填上）
①與x軸垂直的直線轉(zhuǎn)軸后一定與x'軸垂直；②當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，點(diǎn)P（1，1）在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為P（1，0）；③當(dāng)θ=-$\frac{π}{4}$時(shí)，反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象經(jīng)過轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是x′²-y′²=2
④當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時(shí)，直線x=2的圖象經(jīng)過轉(zhuǎn)軸后的直線方程是$\sqrt{3}$x′-y′-4=0
⑤點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系是$\left\{\begin{array}{l}x=x'cosθ-y'sinθ\\ y=x'sinθ+y'cosθ\end{array}$．

Answer 1

分析 對(duì)每個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）因?yàn)檗D(zhuǎn)軸變換僅僅是坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，而直線并不隨著旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)誤；
（2）點(diǎn)P（1，1）在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)應(yīng)為P（$\sqrt{2}$，0），錯(cuò)誤；
（3）$θ=-\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象經(jīng)過轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是y'²-x'²=2，錯(cuò)誤；
（4）直角坐標(biāo)系Oxy中的直線x=2，在坐標(biāo)系O′x′y′中傾斜角為$\frac{π}{3}$，且經(jīng)過點(diǎn)$（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0）$，故轉(zhuǎn)軸后的直線方程是$\sqrt{3}x'-y'-4=0$，正確；
（5）證明如下：設(shè)∠PO′x′=φ，|OP|=r，
則x=rcos（φ+θ）=rcosφcosθ-rsinφsinθ=x′cosθ-y′sinθ，
y=rsin（φ+θ）=rsinφcosθ+rcosφsinθ=x′sinθ+y′cosθ，正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識(shí)綜合性強(qiáng)．