Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），S_n為其前n項和．?dāng)?shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{_{n}•lo{g}_{2}{a}_{2n+2}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由于c_n=$\frac{1}{（2n-1）•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”可得數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項為1，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
∵設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，滿足b₁=a₁，b₄=S₃，
∴b₁=1，b₁+3d=1+2+2²，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=2^n-1．b_n=2n-1．
（2）證明：c_n=$\frac{1}{_{n}•lo{g}_{2}{a}_{2n+2}}$=$\frac{1}{（2n-1）•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵數(shù)列$\{1-\frac{1}{2n+1}\}$為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴${T}_{1}=\frac{1}{3}$≤T_n$＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．