Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=p-1，點(diǎn)（a_n+1，a_n）在直線x-y+1=0上，數(shù)列{b_n}對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x-5的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≤_{n}}\\{_{n}，{a}_{n}＞_{n}}\end{array}\right.$，若c₈為數(shù)列{c_n}中唯一的最大項(xiàng)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（a_n+1，a_n）在直線x-y+1=0上，可得a_n+1-a_n+1=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；數(shù)列{b_n}對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x-5的圖象上，
可得b_n=2^n-5．
（2）由于數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，可得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{p-n，p-n≤{2}^{n-5}}\\{{2}^{n-5}，p-n＞{2}^{n-5}}\end{array}\right.$．由于c₈為數(shù)列{c_n}中唯一的最大項(xiàng)，
c₈＞c₇，c₈＞c₉，即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（a_n+1，a_n）在直線x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n+1=0，即a_n+1-a_n=-1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為p-1，公差為-1，
∴a_n=p-1-（n-1）=p-n．
∵數(shù)列{b_n}對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x-5的圖象上，
∴b_n=2^n-5．
（2）由于數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
且c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≤_{n}}\\{_{n}，{a}_{n}＞_{n}}\end{array}\right.$，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{p-n，p-n≤{2}^{n-5}}\\{{2}^{n-5}，p-n＞{2}^{n-5}}\end{array}\right.$．
∵c₈為數(shù)列{c_n}中唯一的最大項(xiàng)，
∴c₈＞c₇，c₈＞c₉，
∴c₇=$\left\{\begin{array}{l}{p-7，p≤11}\\{4，p＞11}\end{array}\right.$，c₈=$\left\{\begin{array}{l}{p-8，p≤16}\\{8，p＞16}\end{array}\right.$，c₉=$\left\{\begin{array}{l}{p-9，p≤25}\\{16，p＞25}\end{array}\right.$．
∴12＜p≤16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．