Question

4．某高校在2009年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如圖所示．
（1）請先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)數(shù)據(jù)，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；
（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？
（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，求：第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率？

組號	分組	頻數(shù)	頻率
第1組	[160，165）	5	0.050
第2組	[165，170）	①	0.350
第3組	[170，175）	30	②
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185）	10	0.100
合計		100	1.00

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系，求出對應(yīng)的數(shù)值，畫出頻率分布直方圖；
（2）利用分層抽樣原理，求出各小組應(yīng)抽取的人數(shù)；
（3）利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）由題可知，第2組的頻數(shù)為0.35×100=35人，
第3組的頻率為$\frac{30}{100}$=0.300，頻率分布直方圖如圖所示；
（2）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：
第3組：$\frac{30}{60}$×6=3人；第4組：$\frac{20}{60}$×6=2人；
第5組：$\frac{10}{60}$×6=1人．
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
（3）設(shè)第3組的3位同學(xué)為A₁、A₂、A₃，
第4組的2位同學(xué)為B₁、B₂，第5組的1位同學(xué)為C，
則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能，具體如下：
A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₁C，A₂A₃，
A₂B₁，A₂B₂，A₂C，A₃B₁，A₃B₂，A₃C，B₁B₂，B₁C，B₂C；
其中第4組的2位同學(xué)B₁，B₂至少有一位同學(xué)入選的有：
A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，B₁C，B₂C共9種可能；
所以其中第4組的2位同學(xué)B₁、B₂至少有一位同學(xué)入選的概率為
P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了分層抽樣方法的應(yīng)用問題，考查了利用列舉法求概率的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．