Question

1．已知函數(shù)f（x）=a^x-mx，其中a＞0，且a≠1．
（1）若當(dāng)m=2，函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-（2-e）y+8=0垂直，求函數(shù)f（x）的極值．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，若關(guān)于x的方程f（x）=x²-mx僅有1解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a=e，進(jìn)而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得極值；
（2）a^x=x²（a＞1）僅有1解．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=x²圖象恒有一個(gè)交點(diǎn)；由題意x＞0沒(méi)有交點(diǎn)，即a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得相切的情況，結(jié)合圖象即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a^xlna-2，
函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為alna-2，
由切線與直線x-（2-e）y+8=0垂直，可得alna-2=e-2，
解得a=e，
即有f（x）=e^x-2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=ln2處取得極小值，且為2-2ln2，無(wú)極大值；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=x²-mx僅有1解，即為
a^x=x²（a＞1）僅有1解．
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=x²圖象恒有一個(gè)交點(diǎn)；
由題意x＞0沒(méi)有交點(diǎn)，即a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立，
設(shè)y=a^x與函數(shù)y=x²圖象相切的切點(diǎn)為（m，n），
則a^m=m²，且a^mlna=2m，
解得a=${e}^{\frac{2}{e}}$，m=e．
即有a^x＞x²（a＞1）在x＞0恒成立時(shí)，a＞${e}^{\frac{2}{e}}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（${e}^{\frac{2}{e}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．