Question

19．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=2x³，當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)f'（x）＜3x²，實(shí)數(shù)a滿足f（1-a）-f（a）≥-2a³+3a²-3a+1，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{3}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x³，由g（-x）=g（x），可得函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，f（1-a）-f（a）≥-2a³+3a²-3a+1，即g（1-a）≥g（a），可得|1-a|≥|a|，由此解得a的范圍

解答 解：令g（x）=f（x）-x³，
則g（-x）=f（-x）-x³，
則g（x）-g（-x）=f（x）-f（-x）-2x³=0，得g（x）為R上的偶函數(shù)，
∵x＜0時(shí)，g'（x）=f'（x）-3x²＜0，故g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
再結(jié)合g（x）為偶函數(shù)，知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又g（1-a）-g（a）=f（1-a）-（1-a）³-（f（a）-a³）=f（1-a）-f（a）+2a³-3a²+3a-1=0，
則g（1-a）≥g（a）等價(jià)于|1-a|≥|，解得a≤$\frac{1}{2}$，即a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．