Question

7．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列．則△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 等邊三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 根據(jù)A，B，C成等差數(shù)列和三角形內(nèi)角和定理求出B的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知b²=ac代入余弦定理求得a²+c²-ac=ac，整理求得a=c，判斷出A=C，最后利用三角形內(nèi)角和求出A和C，推出結(jié)果．

解答 解：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C（1）
因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A+B+C=π．
由（1）（2）得B=$\frac{π}{3}$．（3）
由a，b，c成等比數(shù)列，有b²=ac（4）
由余弦定理及（3），可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
再由（4），得a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0
因此a=c
從而A=C（5）
由（2）（3）（5），得A=B=C=$\frac{π}{3}$
所以△ABC為等邊三角形．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，三角形形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用．三角形問(wèn)題與數(shù)列，函數(shù)，不等式的綜合題，是考試中常涉及的問(wèn)題，注重了對(duì)學(xué)生的基本知識(shí)以及基本能力的考查．