Question

7．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x與銷售額y（單位：百萬(wàn)元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x/百萬(wàn)元	2	4	5	6	8
y/百萬(wàn)元	30	40	60	50	70

（1）求y與x之間的回歸直線方程；（參考數(shù)據(jù)：2²+4²+5²+6²+8²=145，2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380）
（2）試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用支出為1千萬(wàn)元時(shí)，銷售額是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（2）把所給的廣告費(fèi)支出為1千萬(wàn)元時(shí)，代入線性回歸方程，可估算出對(duì)應(yīng)的銷售額．

解答 解：（1）$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$，（1分）
$\overline{y}=\frac{30+40+60+50+70}{5}=50$，（2分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380}$，（3分）
$\sum_{i=1}^5{x_i^2={2^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}+{8^2}=145}$，（4分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$，（6分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=50-6.5×5=17.5$，（8分）
所以回歸直線方程為$\hat y=6.5x+17.5$．（9分）
（2）當(dāng)x=10時(shí)，$\hat y=6.5×10+17.5=82.5$（百萬(wàn)元），
即當(dāng)廣告費(fèi)用支出為1千萬(wàn)元時(shí)，銷售額約是8.25千萬(wàn)元．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求線性回歸方程，是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問(wèn)題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心．