Question

7．已知函數(shù)f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-2y-2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=$\frac{a}{x}$+b，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=$\frac{1}{2}$，且f（1）=$\frac{1}{2}$，聯(lián)立求得a=1，b=-$\frac{1}{2}$，從而確定f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等價(jià)于lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，參變分離為k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+b．
∵直線x-2y-2=0的斜率為$\frac{1}{2}$，且曲線y=f（x）過點(diǎn)（1，-$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-\frac{1}{2}}\\{f′（1）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{a+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得a=1，b=-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x；                                
（Ⅱ）由（Ⅰ）得當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立即lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，等價(jià)于k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$．
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）＞h（1）=0．
從而，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$．
因此，當(dāng)x＞1時(shí)，k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx恒成立，則k≤$\frac{1}{2}$．
∴k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，及恒成立問題的應(yīng)用，屬于中檔題．