Question

16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：1na₁+1na₃=4，1na₄+1na₆=10，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S_n=1na₁+1na₂+…+1na_n如果數(shù)列{b_n}滿足：${b_n}=\frac{1}{{2{S_n}}}$，設(shè)${C_n}=（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{（\frac{2}{3}）^n}$，求C_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意可得，${a_1}{a_3}={e^4}，{a_4}{a_6}={e^{10}}，公比{q^6}={e^6}（q＞0）⇒q=e，{a_1}=e$，
∴${a_n}={e^n}$；
（2）由（1）可知，${S_n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}，{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
記${c_n}=（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{（\frac{2}{3}）^n}=\frac{n}{n+1}{（\frac{2}{3}）^n}$，
則${c_{n+1}}-{c_n}=\frac{n+1}{n+2}{（\frac{2}{3}）^{n+1}}-\frac{n}{n+1}{（\frac{2}{3}）^n}$=$\frac{{-{n^2}-2n+2}}{3（n+1）（n+2）}{（\frac{2}{3}）^n}＜0$，
∴c_n＞c_n+1，
∴數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，${c_n}≤{c_1}=\frac{1}{3}$，即c_n的最大值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．