Question

9．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足acosA=bcosB，且a≠b．
（1）求∠C的值；
（2）若實數(shù)p滿足（sinAcosA）p=2-cos²A，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．由于a≠b，可得A≠B，可得$A+B=\frac{π}{2}$．即可得出C．
（2）由（1）可得：tanA＞0，利用實數(shù)p滿足（sinAcosA）p=2-cos²A，化為p=$\frac{2-co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2ta{n}^{2}A+1}{tanA}$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．
∴2A=2B，或2A=π-2B，
∵a≠b，∴A≠B，
∴$A+B=\frac{π}{2}$．
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）可得：tanA＞0，
∵實數(shù)p滿足（sinAcosA）p=2-cos²A，
∴p=$\frac{2-co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2ta{n}^{2}A+1}{tanA}$=$2tanA+\frac{1}{tanA}$≥2$\sqrt{2tanA•\frac{1}{tanA}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴p的取值范圍是$[2\sqrt{2}，+∞）$．

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式、“弦化切”、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．