Question

1．求證：（1）tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$；（2）（1+tanα）²+（1-tanα）²=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．

Answer 1

分析 將切化弦，利用同角的三角函數(shù)化簡即可證明．

解答 證明：（1）∵tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-co{s}^{2}α-co{s}^{2}α}{sinαcosα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$．
∴tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1-2co{s}^{2}α}{sinαcosα}$．
（2））∵（1+tanα）²+（1-tanα）²=1+2tanα+tan²α+1-2tanα+tan²α=2+2tan²α=2+$\frac{2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2co{s}^{2}α+2si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．
∴（1+tanα）²+（1-tanα）²=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$．

點(diǎn)評 本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，三角恒等式的證明，將切化弦是證明的關(guān)鍵．