Question

19．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（10，-4），$\overrightarrow$=（3，1），$\overrightarrow{c}$=（-2，3）．
（1）求證：$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$可以作為表示同一平面內(nèi)的所有向量的一組基底；
（2）用$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基底的概念知，兩個向量不共線便可作為平面上的一組基底，從而證明$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$不共線即可；
（2）可設(shè)$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$，帶入坐標(biāo)便可得到$\left\{\begin{array}{l}{10=3{λ}_{1}-2{λ}_{2}}\\{-4={λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$，這樣解出λ₁，λ₂，便可用$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$表示出$\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）證明：∵3×3-1×（-2）=11≠0；
∴$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$不共線；
∴$\overrightarrow，\overrightarrow{c}$可以作為表示同一平面內(nèi)的所有向量的一組基底；
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}={λ}_{1}\overrightarrow+{λ}_{2}\overrightarrow{c}$；
即（10，-4）=λ₁（3，1）+λ₂（-2，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{10=3{λ}_{1}-2{λ}_{2}}\\{-4={λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$；
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=2}\\{{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$．

點評 考查平面上的基底的概念，根據(jù)坐標(biāo)證明兩向量不共線的方法，以及向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運算．