Question

16．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁⊥A₁C，且AA₁=AD=DC=2，AB=BC．
（1）求證：CD⊥AD；
（2）當(dāng)DM為何值時(shí)（M是BD上的點(diǎn)），D₁M⊥面A₁C₁D．

Answer 1

分析 （1）由已知可證AD₁⊥平面A₁DC，從而可證AD₁⊥DC，又CD⊥D₁D，可證CD⊥平面D₁DA₁，從而可證CD⊥AD．
（2）以D₁ 為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}D}$的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD=Q，則由題意可得：$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DQ}$=（1，1，0），可設(shè)$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DQ}$=（λ，λ，0），則M（λ，λ，2），可求$\overrightarrow{{D}_{1}M}$（λ，λ，2），要使D₁M⊥面A₁C₁D，只要$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得λ的值，即可得解．

解答 證明：（1）∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD，
∴AD₁⊥A₁D，
又∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁DC，
∵DC?平面A₁DC，
∴AD₁⊥DC，
又∵CD⊥D₁D，D₁D∩AD₁=D₁
∴CD⊥平面D₁DA₁，AD?D₁DA₁，
∴CD⊥AD．
（2）以D₁ 為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{{D}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，$\overrightarrow{{D}_{1}D}$的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD=Q，則由題意可得：D₁ （0，0，0），D（0.0.2），A₁ （0，2，0，），C₁ （2，0，0，），Q（1，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DQ}$=（1，1，0），
可設(shè)$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DQ}$=（λ，λ，0），則M（λ，λ，2），可求$\overrightarrow{{D}_{1}M}$（λ，λ，2），
∴要使D₁M⊥面A₁C₁D，只要$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2λ+4=0}\\{2λ-2λ=0}\end{array}\right.$，解得λ=2，$\overrightarrow{DM}$=（2，2，0），
∴當(dāng)DM為2$\sqrt{2}$時(shí)，（M是BD上的點(diǎn)），D₁M⊥面A₁C₁D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和推來論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．