Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-3）（a∈R）的圖象為C，過原點(diǎn)O且斜率為t的直線為l，設(shè)C與l除原點(diǎn)O外，還有另外兩個交點(diǎn)P，Q（可以重合），且f′（0）=3．
（1）求a的值；
（2）記函數(shù)g（t）=|$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$|，寫出g（t）的表達(dá)式并求當(dāng)-1≤t＜3時g（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：f′（x）=（x-a）（x-3）+x（x-3）+x（x-a），由于f′（0）=3，代入即可得出．
（2）直線l的方程為：y=tx，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y=x（x-1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，及其x²-4x+3-t=0，可得x₁x₂=3-t．函數(shù)g（t）=|x₁x₂+y₁y₂|=-t³+3t²-t+3，-1≤t＜3．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=（x-a）（x-3）+x（x-3）+x（x-a），
∵f′（0）=3，
∴3a=3，
解得a=1．
（2）直線l的方程為：y=tx，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y=x（x-1）（x-3）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，及其x²-4x+3-t=0，
∴x₁x₂=3-t．
∴函數(shù)g（t）=|$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$|=|x₁x₂+y₁y₂|=$|{x}_{1}{x}_{2}+{t}^{2}{x}_{1}{x}_{2}|$=（1+t²）|3-t|=（1+t²）（3-t）=-t³+3t²-t+3，-1≤t＜3．
g′（t）=-3t²+6t-1=-3$（x-\frac{3+\sqrt{6}}{3}）$$（x-\frac{3-\sqrt{6}}{3}）$，
g′（t）＞0，解得$\frac{3-\sqrt{6}}{3}＜t＜\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；
由g′（t）＜0，解得$-1≤t＜\frac{3-\sqrt{6}}{3}$或$\frac{3+\sqrt{6}}{3}＜t＜3$，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞減．
又g（-1）=8，$g（\frac{3+\sqrt{6}}{3}）$=$\frac{-45-28\sqrt{6}}{9}$＜0．
∴g（t）的最大值是8．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．