Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x+e^ax-4（a∈R）為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求證函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)只有兩個零點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程關系即可求a的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系即可判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)只有兩個零點．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+e^ax-4（a∈R）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），
即e^-x+e^-ax-4=e^x+e^ax-4，
即e^-x+e^-ax=e^x+e^ax，
則a=-1；
（2）∵a=-1，
∴f（x）=e^x+e^-x-4，
f′（x）=e^x-e^-x，
當x≥0時，f′（x）≥0，即函數(shù)單調(diào)遞增，
∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴當x≤0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵f（0）=1+1-4=-2＜0，f（2）=e²+e^-2-4＞0，
∴函數(shù)在（0，2）中存在一個零點，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)只有兩個零點．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及函數(shù)與方程根的關系，利用偶函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵．