Question

19．求經(jīng)過點(diǎn)（-5，2），焦點(diǎn)為$（{\sqrt{6}，0}）$的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出該雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，離心率，漸近線方程．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由焦點(diǎn)在x軸上，且$c=\sqrt{6}$，再由點(diǎn)（-5，2）代入雙曲線方程，求解即可得到雙曲線的方程，則a=$\sqrt{5}$，b=1，e=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，即可得到雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、離心率、漸近線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=5}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{{{5^{\;}}}}-{y^2}=1$．
則a=$\sqrt{5}$，b=1，c=$\sqrt{6}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{30}}{5}$．
∴雙曲線的實(shí)軸長為2$\sqrt{5}$，虛軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{30}}{5}$，漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于中檔題．