Question

1．已知a＜0，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|，g（x）=|x-a|，試討論兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)．

Answer 1

分析 兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)可化為方程x²-a|x-1|=|x-a|的解的個數(shù)，討論去絕對值號，從而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論解的個數(shù)即可．

解答 解：由題意，
x²-a|x-1|=|x-a|，
①當(dāng)x≥1時，
x²-a（x-1）=x-a，
即x²-（a+1）x+2a=0，
∵a＜0，可知方程有一正一負兩個解，
且1-（a+1）+2a=a＜0，
∴x²-（a+1）x+2a=0在x≥1時有一個解，
②當(dāng)a＜x＜1時，
x²+a（x-1）=x-a，
即x²+（a-1）x=0，
故x=0或x=1-a（舍去）；
③當(dāng)x≤a時，
x²+a（x-1）=a-x，
即x²+（a+1）x-2a=0，
當(dāng)△=（a+1）²+8a＜0，即-5-2$\sqrt{6}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$時，
方程無解，
當(dāng)a=-5+2$\sqrt{6}$時，方程解為x=2-$\sqrt{6}$＜-5+2$\sqrt{6}$；
當(dāng)-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，
方程x²+（a+1）x-2a=0有兩個負根，
且可知-$\frac{a+1}{2}$＜a，a²+a（a+1）-2a=a（2a-1）＞0，
故方程x²+（a+1）x-2a=0在x≤a上有兩個不同的解，
當(dāng)a≤-5-2$\sqrt{6}$時，方程的解大于0，
綜上所述，
當(dāng)a＜-5+2$\sqrt{6}$時，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|與g（x）=|x-a|有兩個交點，
當(dāng)a=-5+2$\sqrt{6}$時，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|與g（x）=|x-a|有三個交點，
當(dāng)-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|與g（x）=|x-a|有四個交點．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象的交點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，討論比較復(fù)雜，屬于難題．