Question

4．已知集合M={（x，y）|x-3≤y≤x-1}，N={P|PA≥$\sqrt{2}$PB}，A（-1，0）、B（1，0），則表示M∩N的圖形的面積等于$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系：M為直線y=x-1和y=x-3之間的點(diǎn)的集合（含線上的點(diǎn)），N集合為以（3，0）為中心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓內(nèi)的點(diǎn)的集合，聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，求出CD的長，再解直角三角形，求出扇形的圓心角，根據(jù)圖形之間的面積，最后求出M∩N的圖形面積．

解答 解：如圖示：
建立坐標(biāo)系：M為直線y=x-1和y=x-3之間的點(diǎn)的集合（含線上的點(diǎn)），設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
則可將PA≥$\sqrt{2}$PB表示成：$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$≥$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$，
∴（x+1）²+y²≥2[（x-1）²+y²]，
∴（x-3）²+y² ≤8，
即N集合為以（3，0）為中心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓內(nèi)的點(diǎn)的集合，
則直線y=x-3經(jīng)過圓心F，
過圓心F做FE⊥CD，垂足為E，
聯(lián)立方程組得到 $\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解得x=2±$\sqrt{3}$，y=1±$\sqrt{3}$，
則D（2-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$），C（2+$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴|CD|²=（2+$\sqrt{3}$-2+$\sqrt{3}$）²+（1+$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{3}$）²=24，即CD=2$\sqrt{6}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{6}$，
在直角三角形CEF中，sinCFE=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CFE=60°，
∴∠CFD=120°，
∴S_扇形CFD=$\frac{120}{360}$π×8=$\frac{8}{3}$π，S_△CFD=$\frac{1}{2}$CF•DF•sin120°=$\frac{1}{2}$×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形CFD-S_△CFD=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$，
∵S_半圓=$\frac{1}{2}$π×8=4π，
∴S_{M∩N的圖形}=S_半圓-S_弓形=4π-（$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$π+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以集合的交集為載體，考查了直線和圓的位置關(guān)系，求出三角形，扇形，弓形的面積，屬于中檔題．