Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x-ln（x-p）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；
（Ⅲ）已知數(shù)列{a_n}滿足：0＜a_n≤3，n∈N^*，且3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015．若不等式f（a₁）+f（a₂）+..+f（a₂₀₁₅）≤g（x）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實(shí)數(shù)p的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，即可求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再分類討論，即可求出零點(diǎn)個數(shù)；
（Ⅲ）證明f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045，由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，即可求實(shí)數(shù)p的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-6x+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，…（1分）
∴f′（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{9}{10}$，又f（$\frac{1}{3}$）=3，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切線方程為y-3=-$\frac{9}{10}$（x-$\frac{1}{3}$），
即y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．…（4分）
（Ⅱ）g′（x）=$\frac{x-p-1}{x-p}$（x＞p）
當(dāng)x∈（p，p+1）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（p，p+1）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（p+1，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（p+1，+∞）單調(diào)遞增；
∴x=p+1時，g_min（x）=g（p+1）=p+1．…（5分）
①當(dāng)p+1＞0，即p＞-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為0；
②當(dāng)p+1=0，即p=-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1；
③當(dāng)p+1＜0，即p＜-1時，此時g（p+1）＜0，g（0）=-ln（-p）＞0，x→p，g（x）→+∞
∵g（x）在定義域上連續(xù)，由零點(diǎn)存在定理及g（x）的單調(diào)性，
知g（x）在（p，p+1）有且只有一個零點(diǎn)，g（x）在（p+1，+∞）有且只有一個零點(diǎn)，
∴p＜-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為2．
綜上所述，當(dāng)p＜-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為2；p=-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1；p＞-1時，g（x）的零點(diǎn)個數(shù)為0．…（9分）
（Ⅲ）∵3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015，當(dāng)a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$時，有f（$\frac{1}{3}$）=3．
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）=2015×f（$\frac{1}{3}$）=6045．…（10分）
接下來證明：f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045．
由（I）知，函數(shù)f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，在點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切線方程為y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．
而當(dāng)0＜x≤3時，f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$≤-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$?（x-3）（x-$\frac{1}{3}$）²≤0成立．
∴當(dāng)0＜a_n≤3，n∈N^*時，有f（a_n）≤-$\frac{9}{10}$a_n+$\frac{33}{10}$=$\frac{3}{10}$（11-3a_n）．…（12分）
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤$\frac{3}{10}$[11×2015-3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）]=6045
∴當(dāng)a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$時，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）的最大值為6045．
再由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，∴6045≤p+1得p≥6044．
∴p的最小值為6044．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．