Question

2．若數(shù)列{a_n}滿足：存在正整數(shù)T，對于任意的正整數(shù)n，都有a_n+T=a_n成立，則稱數(shù)列{a_n}為周期為T的周期數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m （m＞a ），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-1，{a_n}＞1\\ \frac{1}{a_n}，0＜{a_n}≤1\end{array}$，現(xiàn)給出以下三個命題：
①若 m=$\frac{2}{5}$，則a₅=2；
②若 a₃=3，則m可以取3個不同的值；
③若 m=$\sqrt{3}$，則數(shù)列{a_n}是周期為5的周期數(shù)列．
其中正確命題的序號是①②．

Answer 1

分析 ①由給出的遞推式，把m=$\frac{2}{5}$及代入遞推式驗證，可以判斷
②將a₃=3代入可得到不同的m的值．
③將m=$\sqrt{3}$代入驗證可求得周期．

解答 解：對于①由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1}&{{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}}&{0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，且a₁=m=$\frac{2}{5}$＜1，
所以，${a}_{2}=\frac{5}{2}$＞1，${a}_{3}=\frac{3}{2}＞1$，${a}_{4}=\frac{1}{2}＜1$，∴a₅=2 故①正確；
對于②由a₃=3，若a₃=a₂-1=3，則a₂=4，若a₁-1=4，則a₁=5=m．
若${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}=3$，則${a}_{2}=\frac{1}{3}$．
若a₁＞1a₁=$\frac{4}{3}$，若0＜a₁≤1則a₁=3，不合題意．
所以，a₃=2時，m即a₁的不同取值由3個．
故②正確；
若a₁=m=$\sqrt{3}$＞1，則a2=$\sqrt{3}-1＜1$，所a3=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$＞1，a4=$\sqrt{3}$
故在a1=$\sqrt{3}$時，數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，③錯；
故答案為：①②

點評 本題主要考查新定義題目，屬于創(chuàng)新性題目，但又讓學生能有較大的數(shù)列的知識應用空間，是較好的題目