Question

12．已知點(diǎn)P在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是這條雙曲線上的兩個(gè)焦點(diǎn)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且△F₁PF₂的三條邊的長度成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率的值為5．

Answer 1

分析 設(shè)|PF₂|，|PF₁|，|F₁F₂|成等差數(shù)列，且分別設(shè)為m-d，m，m+d，則由雙曲線定義和勾股定理求出m=4d=8a，c=$\frac{5}{2}$d，由此求得離心率的值．

解答 解：設(shè)|PF₂|，|PF₁|，|F₁F₂|成等差數(shù)列，且分別設(shè)為m-d，m，m+d，
則由雙曲線定義和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）²+m²=（m+d）²，
解得m=4d=8a，c=$\frac{5}{2}$d，故離心率e=$\frac{c}{a}$=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．