Question

14．一條鐵路原有n個車站，為了適應客運需要，新增加了m（m＞1）個車站，客運車票增加了62種，問原有多少個車站？現(xiàn)有多少個車站？

Answer 1

分析 由排列知識，可得${A}_{n+m}^{2}$-${A}_{n}^{2}$=62，從而得出n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1），1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$，1＜m≤8，驗證即可得出結論．

解答 解：∵原有車站n個，
∴原有客運車票${A}_{n}^{2}$種，
又現(xiàn)有（n+m）個車站，現(xiàn)有客運車票${A}_{n+m}^{2}$種，
∴${A}_{n+m}^{2}$-${A}_{n}^{2}$=62，
∴（n+m）（n+m-1）-n（n-1）=62，
∴n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1）＞0，
∴m²-m-62＜0，
又m＞1，從而得出1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$，
∴1＜m≤8，
即m=2時，n=$\frac{31}{2}-\frac{2-1}{2}$=15，
當m=3、4、5、6、7、8時，n均不為整數(shù)，
故只有n=15，m=2，
即原有15個車站，現(xiàn)有17個車站．

點評 本題考查排列知識的運用，考查學生的計算能力，確定n=$\frac{31}{m}$-$\frac{1}{2}$（m-1），1＜m＜$\frac{1+\sqrt{249}}{2}$是關鍵．