Question

17．設(shè)f（x）=x³+x，x∈R，當(dāng)0≤θ≤π時，f（mcosθ）+f（sinθ-2m）＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=x³+x，∴f（x）在R上遞增且為奇函數(shù)，
∴當(dāng)0≤θ≤π時，f（mcosθ）+f（sinθ-2m）＜0等價為：
當(dāng)0≤θ≤π時，f（mcosθ）＜-f（sinθ-2m）=f（2m-sinθ），
即mcosθ＜2m-sinθ，
即m（2-cosθ）＞sinθ
∵0≤θ≤π，∴2-cosθ＞0，
則不等式等價為m＞$\frac{sinθ}{2-cosθ}$
設(shè)g（θ）=$\frac{sinθ}{2-cosθ}$，則g′（θ）=$\frac{cosθ（2-cosθ）-sinθ（sinθ）}{（2-cosθ）^{2}}$=$\frac{2cosθ-1}{（2-cosθ）^{2}}$，
∵0≤θ≤π，
∴由g′（θ）=0得cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$，
由g′（θ）＞0得cosθ＞$\frac{1}{2}$，即0＜θ＜$\frac{π}{3}$，
由g′（θ）＜0得cosθ＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{π}{3}$＜θ＜π，
即當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時，g（θ）取得極大值g（$\frac{π}{3}$）=$\frac{sin\frac{π}{3}}{2-cos\frac{π}{3}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵．