Question

2．如圖，已知E、F、G分別是棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、CC₁、DD₁的中點(diǎn)．
（1）判斷多面體EGD₁BCF是否是棱柱，并求它的體積；
（2）求證：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （1）充分利用正方體的對稱性，可通過三角形全等證明多面體EGD₁BCF是棱柱；
（2）由E、F是正方體對棱的中點(diǎn)，可得四邊形EBFD₁為菱形，從而得到線線垂直，問題將迎刃而解．

解答 （1）解：由題意△D₁EG≌△FBC，平面D₁EG∥平面FBC，
∴多面體EGD₁BCF是棱柱；
多面體EGD₁BCF的體積=$\frac{1}{2}×2×1×2$=2；
（2）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵四邊形EBFD₁是平行四邊形．AE=A₁E，F(xiàn)C=FC₁，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE=BF，故四邊形EBFD₁為菱形．
連結(jié)EF、BD₁、A₁C₁．
∵四邊形EBFD₁為菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥A₁A，∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．
又EF?平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁．
又B₁D₁∩BD₁=D₁，∴EF⊥平面BB₁D₁D．
又EF?平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁D．

點(diǎn)評 證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，而線面垂直又是通過線線垂直實(shí)現(xiàn)的，充分利用正方體的對稱性，通過證明四邊形EBFD₁是菱形證明線線垂直是本題證明的關(guān)鍵．