Question

從極點(diǎn)O作圓C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解析:在直角坐標(biāo)系中,求曲線的軌跡方程的方法有直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法,在極坐標(biāo)系中,求曲線的極坐標(biāo)方程這幾種方法仍然是適用的.

解法一:如圖,圓C的圓心C(4,0),半徑r=|OC|=4,連結(jié)CM.?

∵M為弦ON的中點(diǎn),?

∴CM⊥ON.故M在以OC為直徑的圓上.?

所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是ρ=4cosθ.

解法二:解法一是定義法,下面我們用轉(zhuǎn)移法來解決這個(gè)問題.?

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)是(ρ,θ),N(ρ₁,θ₁).?

N點(diǎn)在圓ρ=8cosθ上,?

∴ρ₁=8cosθ₁.(*)?

∵M是ON的中點(diǎn),?

∴將它代入(*)式得2ρ=8cosθ,故M的軌跡方程是ρ=4cosθ.