Question

從極點(diǎn)O作圓C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

思路分析：在直角坐標(biāo)系中，求曲線的軌跡方程的方法有直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法，在極坐標(biāo)系中，求曲線的極坐標(biāo)方程這幾種方法仍然是適用的.

圖1-3-3

解：如圖1-3-3，圓C的圓心C(4,0)，半徑r=|OC|=4，連結(jié)CM.

∵M(jìn)為弦ON的中點(diǎn)，

∴CM⊥ON，故M在以O(shè)C為直徑的圓上.

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是ρ=4cosθ.

    方法歸納 這種解法是定義法，下面我們用轉(zhuǎn)移法來解決這個(gè)問題：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)是(ρ,θ),N(ρ₁,θ₁).N點(diǎn)在圓ρ=8cosθ上，

∴ρ₁=8cosθ₁(*).∵M(jìn)是ON的中點(diǎn)，∴它代入(*)式得2ρ=8cosθ.故M的軌跡方程是ρ=4cosθ.

在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有ρ,θ這兩個(gè)變數(shù)的方程f(ρ,θ)來表示，這種方程叫做曲線的極坐標(biāo)方程.常見的曲線方程如下：

①過極點(diǎn)，極角為α的直線方程：θ=α(ρ∈R).

②與極軸平行并且與極軸距離等于a的直線方程：ρsinθ=±a(a＞0).

③與極軸所在直線垂直且與極點(diǎn)距離為a的直線方程：ρcosθ=±a(a＞0).

④圓的極坐標(biāo)方程：

圓心為(ρ₀,θ₀)，半徑為r：ρ²-2ρ₀-ρcos(θ-θ₀)+ρ₀²-r²=0；

圓心為(ρ₀,0)，半徑為r：ρ²-2ρ₀ρcosθ+ρ₀²-r²=0；

圓心為(r,0)，半徑為r：ρ=2rcosθ(r＞0)；

圓心為(-r,0)，半徑為r：ρ=-2rcosθ(r＞0)；

圓心為(r,)，半徑為r：ρ=2rsinθ(r＞0)；

圓心為(r,)，半徑為r：ρ=-2rsinθ(r＞0)；

圓心為(0,θ),半徑為r：ρ=r(r＞0).