Question

7．已知函數(shù)f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1，n∈N^*），其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定義a_n是函數(shù)f（x）的值域中的無(wú)素個(gè)數(shù)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$對(duì)n∈N^*均成立，則最小正整數(shù)m的值為20．

Answer 1

分析 先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式恒成立思想，即可得到m的范圍，進(jìn)而得到最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，則x[x]=nx，
∴函數(shù)f（x）的值域中的元素個(gè)數(shù)是n，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
由于$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$對(duì)n∈N^*均成立，
即有2≤$\frac{m}{10}$，即為m≥20．
則最小正整數(shù)m的值為20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查通過(guò)取整函數(shù)來(lái)建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域，以及考查了數(shù)列與不等式的綜合，屬于中檔題．