Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，

∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點P在棱DF上．                         

（Ⅰ）若P是DF的中點

(ⅰ) 求證：BF // 平面ACP

(ⅱ) 求異面直線BE與CP所成角的余弦值

（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度．

                               

Answer 1

Ⅰ）(ⅰ)證明：連接BD，交AC于點O，連接OP．

    因為P是DF中點，O為矩形ABCD 對角線的交點，

    所以OP為三角形BDF中位線，

所以BF // OP，     

因為BF平面ACP，OP平面ACP， 

所以BF // 平面ACP．  

(ⅱ)因為∠BAF=90º，

所以AF⊥AB，    

因為 平面ABEF⊥平面ABCD，

且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 

所以AF⊥平面ABCD，                          

因為四邊形ABCD為矩形，

所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．

所以 ，，，．

所以 ，，

所以，

即異面直線BE與CP所成角的余弦值為．                                         

（Ⅱ）解：因為AB⊥平面ADF，

所以平面APF的法向量為．

設P點坐標為，                  

在平面APC中，，，

所以 平面APC的法向量為，   

所以 ，

解得，或（舍）． 

．