Question

11．已知圓C經過點A（2，0）、B（1，-$\sqrt{3}$），且圓心C在直線y=x上．
（1）求圓C的方程；
（2）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）的直線l截圓所得弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的方程；
（2）設出直線方程，利用點到直線的距離以及半徑半弦長求解即可．

解答 解：（1）AB的中點坐標（$\frac{3}{2}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$），AB的斜率為$\sqrt{3}$．可得AB垂直平分線為$2\sqrt{3}$x+6y=0，與x-y=0的交點為（0，0），圓心坐標（0，0），半徑為2，
所以圓C的方程為x²+y²=4；
（2）直線的斜率存在時，設直線l的斜率為k，又直線l過（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴直線l的方程為y-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=k（x-1），即y=kx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-k，
則圓心（0，0）到直線的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，又圓的半徑r=2，截得的弦長為2$\sqrt{3}$，
則有${（\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）}^{2}+{（\sqrt{3}）}^{2}=4$，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則直線l的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
當直線的斜率不存在時，直線方程為x=1，滿足題意．
直線l的方程：x=1或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有點到直線的距離公式，垂徑定理及勾股定理，當直線與圓相交時，常常利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形來解決問題．