Question

12．設(shè)A={（x，y）|y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，B={（x，y）|y=k（x-2）+4}，若A∩B中含有兩個元素，則實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 集合A表示圓心為（0，1），半徑為2的上半圓；集合B表示恒過（2，4）的直線，要使兩集合交集有兩個元素，得到兩函數(shù)圖象有兩個交點，根據(jù)圖形確定出k的范圍即可．

解答 解：集合A中y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
變形得：x²+（y-1）²=4（y≥1），
表示圓心為（0，1），半徑為2的上半圓；
集合B中y=k（x-2）+4=kx-2k+4，表示恒過（2，4）的直線，
由A∩B中含有兩個元素，得到兩函數(shù)圖象有兩個交點，
當直線與圓相切時，圓心到直線的距離d=r，即$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{5}{12}$，
當直線過點B（-2，1）時，把B坐標代入直線方程得：1=-2k-2k+4，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
則實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]．
故答案為：（$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]

點評 此題考查了交集及其運算，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，畫出正確的圖形是解本題的關(guān)鍵．