Question

11．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x在點(diǎn)處（1，$\frac{4}{3}$）的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)（1，$\frac{4}{3}$）處的切線斜率，進(jìn)而求出切線方程，再分別求出與x，y軸的交點(diǎn)，由三角形的面積公式即可得到．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，
∴f′（x）=x²+1，
∴曲線f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x在點(diǎn)處（1，$\frac{4}{3}$）處的切線斜率k=f′（1）=2，
∴所求的切線方程為y-$\frac{4}{3}$=2（x-1）即2x-y-$\frac{2}{3}$=0
令x=0可得y=-$\frac{2}{3}$，令y=0可得x=$\frac{1}{3}$，
則與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是S=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及曲線在一點(diǎn)處的切線方程的求解，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．