Question

5．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，則此橢圓離心率的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 設P（m，n），通過$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，將P（m，n）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，計算可得$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，利用m²≤a²，計算可得$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進而可得結論．

解答 解：設P（m，n），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m²-c²+n²=2c²，
∴m²+n²=3c²，n²=3c²-m²，①
將P（m，n）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得：b²m²+a²n²=a²b²，②
把①代入②得：m²=$\frac{{a}^{2}^{2}-3{a}^{2}{c}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$≥0，∴a²b²≤3a²c²，
∴b²≤3c²，a²-c²≤3c²，∴$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{2}$，
又∵m²≤a²，∴$\frac{{a}^{2}^{2}-3{a}^{2}{c}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$≤a²，∴a²-3c²≥0，
∴$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
綜上，$\frac{1}{2}$≤$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題．