Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

．若a＞0，函數(shù)h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，可得2ax²+x-1=0在（0，2）有單根（不能為重根，即a≠-

1

8

），即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵h(yuǎn)（x）=lnx-x-ax²
∴h′（x）=-

2ax2+x-1

x

∵函數(shù)h（x）=x•f（x）-x-ax²在（0，2）上有極值，
∴2ax²+x-1=0在（0，2）有單根（不能為重根，即a≠-

1

8

），
由a=

1-x

2x2

=

1

2

（

1

x

-

1

2

）²-

1

8

，
∵

1

x

＞

1

2

＞0，∴有a＞-

1

8

，
∴a的取值范圍是a＞0．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．