Question

13．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-\sqrt{3}cos2x$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上時有兩個相異實數(shù)解，求這兩實數(shù)解的和；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先化簡函數(shù)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即可求這兩實數(shù)解的和；
（3）結(jié)合x 的范圍求出表達式相位的范圍，確定表達式的范圍，求出最值，利用不等式恒成立確定m 的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-\sqrt{3}cos2x$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{5}{12}$π≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{5}{12}$π，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∵關(guān)于x的方程f（x）=a在$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上時有兩個相異實數(shù)解，
∴兩根關(guān)于2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$對稱，
∴這兩實數(shù)解的和為$\frac{5}{6}$π；
（3）由條件可知m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
又當$x∈[{\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$上時，f（x）_max=3，f（x）_min=2
∴1＜m＜4，即：m的取值范圍是（1，4）．

點評 本題考查三角函數(shù)恒成立問題，著重考查正弦函數(shù)的定義域和值域，考查三角函數(shù)的化簡求值與輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．