Question

13．在平面直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)集K={（x，y）|（|x|+2|y|-4）（2|x|+|y|-4）≤0}所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 利用不等式對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性求出在第一象限的面積，乘以4得答案．

解答 解：∵（|x|+2|y|-4）（2|x|+|y|-4）≤0對(duì)應(yīng)的區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，x軸對(duì)稱(chēng)，y軸對(duì)稱(chēng)，
∴只要作出在第一象限的區(qū)域即可．
當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，
不等式等價(jià)為|（x+2y-4）（2x+y-4）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{2x+y-4≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{2x+y-4≥0}\end{array}\right.$，
在第一象限內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖象為，
則A（2，0），B（4，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，則在第一象限的面積S=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
則點(diǎn)集K對(duì)應(yīng)的區(qū)域總面積S=4×$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，主要考查區(qū)域面積的計(jì)算，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．