Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值為（　�。�

• A． 3
• B． 7
• C． 11
• D． 21

Answer 1

分析 由題意可得m=4，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的P的坐標(biāo)，求出向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦點(diǎn)為（±3，0），
即有m=4，聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程可得第一象限的點(diǎn)P（$\frac{10}{3}$，$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-3-$\frac{10}{3}$，-$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3-$\frac{10}{3}$，-$\frac{2\sqrt{20}}{3}$），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-3-$\frac{10}{3}$）（3-$\frac{10}{3}$）+$\frac{80}{9}$
=$\frac{100}{9}$+$\frac{80}{9}$-9=11．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．