Question

已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝f′(x)＋6x的圖象關(guān)于y軸對稱．

(1)求m，n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a＞0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．

Answer 1

解析：(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3.①

由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，

則g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.

而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以m＝－3.代入①得n＝0.

于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)．（注：用∪扣2分）

(2)由(1)得

①當0＜a＜1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(0)＝－2，無極小值；

②當a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值；

③當1＜a＜3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；

④當a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值．

綜上得，當0＜a＜1時，f(x)有極大值－2，無極小值；

當1＜a＜3時，f(x)有極小值－6，無極大值；

當a＝1或a≥3時，f(x)無極值．